理工学で出会う問題の多くは理論計算で答えをだすことができない。そのような問題に対し、コンピュータで解く数値計算法が力を発揮する。数値の取り扱いや誤差について説明したあと、ニュートン法と非線形方程式への応用、連立1次方程式・数値積分・常微分方程式に対する数値計算法をアルゴリズムとともに解説する。
数学だけでなく物理・化学・工学といった現代科学における議論の基礎である微分積分。実数・極限の必要な性質を説明したあと、導関数とテイラー展開、微分の逆演算である不定積分と図形の面積である定積分、そして微積分学の基本定理を解説する。後半では、多変数関数の微分積分である偏微分・多重積分から無限級数まで取り上げる。
理工学では、たがいに関連のある数を縦横に並べた「行列」がひろく使われる。その中で最も簡単な場合であるベクトルからはじめて、親しみやすい連立1次方程式にハイライトをあてながら、行列の演算や行列式・逆行列について解説する。最後に固有値・固有ベクトル・対角化を解説し、固有振動の問題についても触れる。『行列と1次変換』を改題。
理工学では物体の運動、電流の流れや感染症伝染など様々な自然現象を微分方程式で記述し、それを解析することで結果を予測・判断している。常微分方程式の初等的解法からはじめて、2階線形常微分方程式の解法を解説し、高階線形常微分方程式へとすすむ。最後に、解の定性的振舞いをしらべる力学系の理論を取り上げる。
重力場、電磁場、流れの速度場といった「場」は物理学の基本的概念であり、ベクトル解析はその微分積分を取り扱う。ベクトルの微分積分、曲線と曲面の基本性質を説明したあと、スカラー場・ベクトル場を導入し、微分演算(勾配grad・発散div・回転rot)とガウスの積分定理・ストークスの定理などの積分定理を解説する。
複素数を変数とする関数(複素関数)に特有な性質をしらべる複素関数論は、実定積分の計算や電磁気学・流体力学などへ広く応用されている。複素数の導入からはじめて、複素関数の微分積分、正則関数の基本性質を解説し、コーシーの積分公式や留数定理へとすすむ。最後に、ポテンシャル問題への応用と等角写像を取り上げる。
関数を三角関数の和として表すことで、その本質を明らかにするフーリエ解析。その思想は理工学全般に広く、本質的な影響を及ぼしている。フーリエ級数とフーリエ変換の基礎からはじめて、偏微分方程式への応用として波動方程式・拡散方程式・ラプラス方程式を解説し、関数解析など高度な数学につながる内容も取り上げる。
偶然から法則性を抽出し、それにもとづいて現象を説明したり、部分から全体を推測したりする確率・統計。前半では、確率と確率変数の概念を数学的に導入し、期待値や分布を定義したあと、2項分布・正規分布といった主要な分布をみる。後半では、確率論を基礎として標本と統計量の分布、推定と検定といった推測統計学へとすすむ。
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