テレビ番組の録画と同じように考えるといいです。
録画を学校のテレビで生徒に見せてもいいけど、それを学校でライブラリー用に保管してはいけませんということになっているようです。
ダウンロード自体が私的複製ではないというのは、違法にアップロードされた映像や音楽ファイルをダウンロードした場合のことですね。
ニコニコ動画が現状どうなのかわかりませんが、多くのボカロ曲は違法にアップロードされたものではないので私的複製になります。