わたしの場合は引越で転院した時に、転院先の先生に勧められて手続きに役所に行きました。先生いわく「東京都は手続き後かなり待たされるけど、ここは即日交付だからすぐ行った方がいい」とのこと。
自治体によって差があるのかもしれません。
先生はけっこう把握なさってるんで、役所に行く時間が取れないようなら、まず先生に聞いてみたらどうでしょう。
収入に応じて上限額がかわるようなので、そのへんは役所に。