「頭痛や耳鳴りがひどくて内科に行ったら自律神経失調症って言われました」
と派遣会社に伝えようか。

うそではない。うつ病がメインなことと内科ではなく精神科な点を伝えないだけ。
そのくらいのぼかしはいいよね？許されるよね？