このアプリは撮影機能そのものは持っていなくて、インテントを使って他のアプリの機能を呼び出し、画像を渡してもらうようにしています。ですので、Exif 情報が付くかどうかは実際に撮影を行うアプリの仕様次第となります。
画像取得のインテントに対応したアプリが複数インストールされている場合、撮影を行おうとするときに選択肢が表示されるので、Exif を付けてくれることがわかっているアプリを指定すれば OK です。